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Equazione della traiettoria
di un satellite lanciato, con velocità iniziale Vo, da un punto S posto a distanza Ro dal centro della Terra. |
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La Terra è posta nel punto T e il satellite nel punto S
L'equazione della traiettoria, dipende sostanzialmente dalla velocità di lancio
Vo e dalla distanza Ro.(la direzione di Vo è, al momento del lancio, perpendicolare a ST)
Da questi due parametri dipendono l'energia cinetica Ec=(mVo2)/2 , l'energia potenziale
Ep = -G Mm/Ro e quindi l'energia complessiva
E = Ec + Ep
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Se E < 0 e la velocità è maggiore di un valore minimo, il satellite descrive
un'orbita ellittica attorno alla Terra posta in uno dei due fuochi.
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Per comprendere come sia necessaria un'energia negativa perchè il satellite resti
legato alla Terra si veda l'esempio di una sfera posta in una buca (v.fig.).
Nel modello la sfera è soggetta al campo gravitazionale e il riferimento zero per
l'energia potenziale (Ep) è fissato in corrispondenza del piano orizzontale.
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Se E < 0 la sfera non può lasciare la buca e si muove in spazi tanto più ampi
quanto Ep si avvicina a 0, scambiando continuamente energia da potenziale in cinetica
e viceversa. |
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Forma dell'orbita
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La forza gravitazionale agente tra il satellite S e la Terra S dipende dalla distanza
r=ST, tale forza produce una accelerazione con lo stesso nel verso e direzione ST
che può esser scomposta in una componente tangenziale at ed una centripeta ac.
Se l'accelerazione centripeta ac è costante l'orbita è circolare altrimenti è ellittica
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La velocità che consente un'orbita circolare si ottiene ponendo, per l'ellisse,
la condizione a=b o c=0. Se si pone quest'ultima condizione nell'espressione di
c nella pagina precedente si ottiene:
che esprime la velocità di lancio a distanza Ro perchè l'orbita sia circolare.
Allo stesso risultato si arriva ponendo Ro=R1, o eguagliando la forza centrifuga
a quella gravitazionale.
La velocità massima per l'orbita ellittica deve essere inferiore alla velocità di
fuga che si ottiene ponendo la condizione
dalla quale si ha :
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Riepilogando si possono avere 5 tipi di orbite: |
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Vo < Vc |
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Se Ro>R1, si ha una orbita ellittica con la Terra nel fuoco più lontano al punto
di lancio, la velocità di lancio deve, tuttavia, essere maggiore ad un valore minimo
Vmin, altrimenti l'ellisse interseca la Terra.
Detto RT , il raggio della Terra, si ha:
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Vo = Vc
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Se Ro=R1, la Terra è posta al centro si ha un'orbita circolare
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Vo > Vc
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Se Ro<R1, si ha una orbita ellittica con la Terra nel fuoco più vicino al punto
di lancio
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Vo = Vmax
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orbita parabolica
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Vo > Vmax
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orbita iperbolica
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DOWNLOAD
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File compresso, per essere eseguito richiede Excel 97 o superiore.
Per espanderlo occorre attivare una macro (Ctrl+a) che provoca solo l'espansione
delle righe necessarie al calcolo. Il foglio è protetto per evitare immissioni errate
ma è privo di password e quindi può essere modificato a piacere.
Il programma simula il lancio di un satellite da un punto di coordinate note e con
una certa velocità iniziale. Nella simulazione si considera il moto come una successione
di tanti moti uniformemente accelerati della durata di un tempo dt.
Per iniziare conviene assegnare a dt un valore molto piccolo e aumentarlo poi progressivamente
fino al completamento della traccia dell'orbita
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